jueves, 30 de junio de 2011

Vida, obras y contribuciones de Leonhard Euler a las matemáticas

Leonhard Euler

Leonhard Paul Euler (15 de abril de 1707 – 18 de septiembre de 1783) fue un matemático y físico suizo que pasó gran parte de su vida en Rusia y Alemania. Euler hizo importantes descubrimientos en campos tan diversos como cálculo y teoría de grafos; también introdujo mucha de la terminología y notación matemática moderna, particularmente para análisis matemático (como la noción de función matemática). También fue prolífico en campos como la mecánica, dinámica de fluidos, óptica y astronomía. Euler es considerado como el más prominente matemático del siglo XVIII y uno de los más grandes de todos los tiempos; también es un de los más prolíficos: sus trabajos ocupan entre 60 y 80 volúmenes.
Euler nació en Basilea, hijo de Paul Euler, un pastor de la iglesia reformista, y de Margarita Brucker, hija de un pastor; tuvo dos hermanas menores que él, llamadas: Ana María y María Magdalena. Poco tiempo después del nacimiento de Leonhard, la familia Euler se mudó al pueblo de Riehen, donde Euler pasó gran parte de su infancia. Paul Euler era amigo de la familia Bernoulli y especialmente de Johann Bernoulli, que era en ese entonces considerado como el matemático más grande de Europa, y que luego sería de mayor influencia en el pequeño Leonhard Euler. La primera educación formal de Euler comenzó en Basilea, donde fue mandado a vivir con su abuela materna; a la edad de trece se matriculó en la Universidad de Basilea y en 1723 se recibió con una tesis sobre la comparación de la filosofía de Descartes y Newton. En este tiempo, recibía lecciones todos los sábados por la tarde de parte de Johann Bernoulli, que rápidamente lo consideró su más talentoso pupilo en cuestiones matemáticas; en estos años Euler además estudiaba teología, griego y hebreo, por urgencia de su padre que quería que se convirtiera en pastor, pero Bernoulli convenció a Paul Euler que Leonhard estaba destinado a convertirse en un gran matemático. En 1726, Euler completó su doctorado con una tesis sobre propagación del sonido (llamada “De sono”), y en 1727 entró a la competición de problemas de la Academia de París, que ese año presentó como problema a resolver: cuál es el mejor lugar para poner el mástil en un barco; terminó de segundo, detrás de Pierre Bouguer, quien es hoy conocido como el padre de la arquitectura naval. Euler luego ganaría este premio doce veces a lo largo de su vida.
Por esta época, los dos hijos de Johann Bernoulli, Daniel y Nicolas, estaban trabajando en la Academia Imperial Rusa de Ciencias en San Petersburgo; en julio de 1726 Nicolas murió de apendicitis tras pasar un año en Rusia, y cuando Daniel asumió la posición de su hermano en la división matemática-física, recomendó para el puesto vacante que dejaba en fisiología a su amigo Euler; en noviembre de 1726 Euler aceptó la oferta, pero retrasó su viaje mientras intentaba sin éxito encontrar una posición como profesor de física en la Universidad de Basilea. Euler llegó a la capital rusa el 17 de mayo de 1727 y fue promovido de su puesto junior en el departamento médico, a uno en el departamento de matemáticas; trabajó codo a codo con Daniel Bernoulli. Euler dominó el idioma ruso y asentó su vida en San Petersburgo, donde también tomó el trabajo de médico en la Armada rusa. La Academia de San Petersburgo, establecida por Pedro el Grande, tenía como objetivo mejorar la educación en Rusia y cerrar la brecha científica con Europa Occidental; como resultado se volvió muy atractiva para escolares extranjeros como Euler. La academia poseía amplios recursos financieros y una gran biblioteca compuesta por libros del mismo Pedro y de la nobleza. La benefactora de la academia, Caterina I, que continuó con las políticas progresistas de su difunto marido, murió el mismo día que Euler llegó a Rusia; la nobleza rusa ganó poder sobre el pequeño sucesor (de doce años) Pedro II, y sus sospechas sobre los científicos extranjeros de la academia hizo que le recortaran fondos, así como causó otros tipos de dificultades a Euler y sus colegas. Las condiciones mejoraron tras la muerte de Pedro II, y Euler consiguió ascender rangos en la academia y fue nombrado profesor de física en 1731; dos años después, Daniel Bernoulli (que había sido censurado) retornó a Basilea, y es así como Euler es nombrado jefe del departamento de matemáticas. El 7 de enero de 1734 desposó a Katharina Gsell y compró una casa cerca del río Neva; de los trece hijos de la pareja, sólo cinco sobrevivieron la infancia.
Preocupado por la continuos tumultos en Rusia, Euler abandonó San Petersburgo el 19 de junio de 1741 para tomar un puesto en la Academia de Berlín, que le había sido ofrecida por Federico el Grande de Prusia. Vivió 25 años en Berlín donde escribió 380 artículos; en Berlín publicó los dos trabajos por lo que ganó mayor renombre: “Introductio in analysin infinitorium”, un texto sobre funciones publicado en 1748, y “Instituciones calculi differentialis”, sobre cálculo diferencial y publicado en 1755. Además, Euler fue contratado para ser tutor de la Princesa de Anhalt-Dessau, sobrina de Federico. Euler le escribió más de 200 cartas donde se encuentran exposiciones sobre varios temas pertenecientes a la física y la matemática, así como también invaluables puntos de vista de Euler sobre su personalidad y creencias religiosas; estas cartas se recopilaron en un libro (intitulado “Cartas de Euler sobre diferentes temas de la Filosofía Natural”) que se convirtió en best-seller, ya que las cartas tenían una sorprendente capacidad hechos científicos a una audiencia común (una rara habilidad en un científico). A pesar de la inmensa contribución que Euler legó al prestigio de la Academia, eventualmente fue forzado a abandonar Berlín; en parte por un conflicto con Federico, quien pensaba que Euler no era sofisticado comparado con el círculo de filósofos que el rey trajo a la academia (entre los cuales se encontraba Voltaire).
La vista de Euler empeoró a través de toda su carrera matemática. Tres años después de sufrir un fiebre casi fatal en 1735, quedó casi ciego de su ojo derecho, pero Euler culpó de esto a su intenso trabajo en cartografía durante su estadía en la Academia de San Petersburgo. La visión de Euler en ese ojo empeoró en sobremanera durante su estadía en Alemania, tanto es así que Federico solía referirse a él como “cíclope”. Luego sufriría de cataratas en su ojo izquierdo, dejándolo casi ciego unas semanas antes de su descubrimiento en 1766; aún así, su condición tuvo poco efecto en su productividad, ya que compensaba con su capacidad de cálculos mentales y memoria fotográfica. Por ejemplo, Euler podía recitar la Eneida de Virgilio de principio a fin sin dudar un momento. Con la ayuda de escribas, la productividad de Euler en muchas áreas de hecho aumentó; produjo en promedio un trabajo matemático por semana desde el año 1775.
La situación en Rusia mejoró mucho desde la ascensión al trono de Caterina la Grande, y en 1776 Euler aceptó una invitación para regresar a la Academis de San Petersburgo y pasó gran parte de su vida en este país. Su segunda estadía en el país fue marcada por la tragedia: un incendio en San Petersburgo en 1771 le costó su casa, y casi su vida. En 1773, perdió a su mujer a la edad de 40 años; tres años luego de la muerte de su mujer, Euler se casó con su media hermana Salome Abigail Gsell, y el matrimonio duró hasta su muerte. El 18 de septiembre de 1783 Euler murió en San Petersburgo luego de sufrir una hemorragia cerebral, y fue enterrado junto a su esposa en el cementerio luterano de Smolensk, en la isla Vasiliesky (los soviéticos destruyeron el cementerio luego de transferir los restos de Euler a la iglesia ortodoxa Alexander Nevsky Lavra). Su panegírico estuvo a cargo del escritor, filósofo y matemático de la Academia Francesa, Marquis de Condorcet, donde relató brevemente su vida y obra. Condorcet comentó: “il cessa de calcular et de vivre” (cesó de calcular y de vivir).

 


Como hemos comentado alguna vez Leonhard Euler ha sido el matemático más prolífico de la historia en lo que a publicaciones se refiere. Por ello sus aportaciones se extienden por todas las ramas de las matemáticas (hasta creó alguna), tanto pura como aplicada.
Lo que puede que no todo el mundo conozca es la multitud de aportaciones que dejó Euler a la notación matemática. Ningún otro matemático ha contribuido a ello tanto como el gran Leonhard. Euler popularizó algunas notaciones y creó otras que se siguen utilizando a día de hoy. Vamos con ellas:
  • Fue el precursor de la utilización de la letra para denotar la base de los logaritmos neperianos. En un escrito sobre ciertos experimentos relacionados con disparos de cañones, escrito por Euler sobre 1727, ya utilizaba en varias ocasiones la letra en este sentido (quizás por ser la primera letra de exponencial). La idea que representa dicho número ya se conocía hacía más o menos un siglo, pero hasta este momento no había sido representada con un símbolo en concreto. En una carta a Goldbach en 1731 Euler utiliza de nuevo la letra para, según sus palabras, el número cuyo logaritmo hiperbólico es igual a 1. Esta forma de designar a la base de los logaritmos neperianos apareció en forma impresa por primera vez en la Mechanica del propio Euler
  • Popularizó la utilización de la letra para denotar la razón entre la longitud de una circunferencia y su diámetro. Aunque ya había sido utilizada por William Jones un año antes del nacimiento de Euler en la publicación Synopsis Palmariorum Matheseos, fue el propio Euler quien al adoptar también dicho símbolo extendió su uso, dada la popularidad de sus escritos.
  • Introdujo la notación para . Euler había utilizado el símbolo para denotar lo que podríamos llamar un número infinito. Por ejemplo, Euler escribía :
lo que nosotros escribiríamos como:
Posiblemente ello fue lo que provocó que no lo usara hasta finales de su vida, en el año 1777, en un manuscrito. Dicho manuscrito no se publicó hasta después de la muerte de Leonhard, concretamente en 1794, pero la adopción del símbolo por parte de Gauss en su Disquisitiones Arithmeticae de 1801 terminó por entregarle a esta notación el lugar que ocupa actualmente.
  • Utilizó la letra para designar a su constante (bueno, compartida con Mascheroni). Como vimos en este artículo la constante

apareció por primera vez en un artículo de Euler titulado De Progressionibus harmonicis observationes, donde calculaba los seis primeros dígitos y la denominaba . Más tarde calculaba algunos más y años después Mascheroni, después de calcular los primeros 19 decimales, la denotaba como . Con el tiempo acabó denominándose por su relación con la función . En esta ocasión la notación de Euler no ha perdurado, por razones evidentes.
  • Notación sobre lados y ángulos. La utilización de las letras y para nombrar los lados de un triángulo y las letras y para designar los lados opuestos a los mismos, fue introducida por Euler.
  • Otras notaciones sobre triángulo. El uso de las letras y para denotar el radio de la circunferencia incrita, el de la circunscrita y el semiperímetro de un triángulo también provienen de Euler.
  • Funciones. Uno de los aportes más importantes (posiblemente el que más) de Euler a la notación matemática fue la utilización de (usada en los Commentarii de San Petersburgo en 1734-35) como forma para denotar al valor de una función al aplicarla a un valor .
  • Otras notaciones en análisis. Euler también introdujo la notación moderna de las funciones trigonométricas, el símbolo para denotar un sumatorio y para denotar logaritmo de .
Como se puede ver las matemáticas posteriores a Euler no habrían sido las mismas sin las notaciones que nuestro protagonista introdujo, ya que éstas simplificaron de manera significativa la forma de escribir matemáticas.

Fórmula de Euler

La fórmula o relación de Euler, atribuida a Leonhard Euler, establece que:


para todo número real x. Aquí, e es la base del logaritmo natural, i es la unidad imaginaria y senx y cosx son funciones trigonométricas.
Ó bien:

siendo Z la variable compleja formada por : Z=a+ix.

 


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